这一系列，不限专题，解析系列经典几何题，提高几何分析解决问题能力。

题12. 《12345模型》

等腰Rt△ABC中，F为AC的中点，AD⊥BF于E，求证BD＝2CD。

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〖一般性提点〗

有等腰直角三角形，“12345模型”或是解题的一个选项，此为一；

求线段比的常规，是寻求相似三角形，此为二；没有现成的相似三角形，那就去构造，此为三。

〖题目分析〗

角度分析，示于题解图1。α＋β＝45°，且F是一直角边中点，故可以考虑“12345模型”。

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在Rt△ABF中，tanα＝AF/AB＝1/2；由此可知，tanβ＝1/3。基于计算去证明，应该是一条通路。

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设AF＝1，EF＝x，分析各线段长度示于题解图2.

Rt△AEF中，求得x＝1/√5；

Rt△BED中，求得BD＝4√2/3；

则CD＝BC－BD＝2√2/3；

即BD＝2CD.得证。

常规方法

线段倍长关系，有三角形中位线、直角三角形斜边中线，以及30°Rt三角形等；这些都有倍长线段关系。从题设，尚看不到应用它们来解题的途径。

更一般的方法是通过相似三角形寻求线段比。BD所在三角形有△BED、△ABD，后者和直角三角形直角边直接关联，或可利用F是AC中点的条件，所以优先考虑△ABD；

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CD并不在现成的与△ABD相似的三角形中，但可以构造（平行线构造法）：过C作AB的平行线，与AD的延长线交于G，显而易见，△GCD∽△ABD。

若BD＝2CD为真，则须有CG＝AB/2＝AF；由△CAG≌△ABF可证得CG＝AF。

问题得到解决。分析结果示于题解图3，解题过程在此就省略了。

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